小五數學：甲乙合做一工程

羊妞姊姊丟過來的小學五年級數學應用題：

「甲乙合做一工程時，12天可以完成，今天如果甲做了7天之後，剩下由乙做，則比原定日期晚三天完成工程，請問甲和乙獨做此工程時，各需花幾天才會完成？」

假設甲需a天完成、乙需b天完成，總工程量為1。

甲乙合作時，每天工作量 1/12=1/a+1/b
甲做七天後換乙接手，比原定日期（a天）晚了三天才完成，
甲做七天的工作量是7*(1/a)=7/a，乙接手後做了a-7+3天，所以工作量是(a-7+3)/b
也就是 7/a+(a-7+3)/b=1

第一條式子左右各乘以 12ab => ab=12b+12a 整理之後，b=-12a/(12-a)
第二條式子左右各乘以ab的話，變成 7b+a^2-4a=ab
整理之後，b=(4a-a^2)/(7-a)
相互聯立：-12a/(12-a)=(4a-a^2)/(7-a)
　　　 => -12a(7-a)=(12-a)(4a-a^2)
　　　 => 12a^2-84a=48a-4a^2-12a^2+a^3
　　　 => 12a-84=48-16a+a^2
　　　 => a^2-28a+132=0
　　　 => (a-6)(a-22)=0
　　　 => a=6, 22

但 a=6 帶入前面 b=xxxxx 的算式時，b會變成負數（不成立），所以 a=22
a=22 帶入前面的 b=-12a/(12-a) 或 b=(4a-a^2)/(7-a) 得 b=26.4
所以甲獨做此工程時需要22天，乙獨做則需26.4天。

計算完畢。XD

在某個網頁上看到一模一樣的題目，也是父母幫孩子求救，
不過我覺得上面那網頁的解答有點問題，就在於第二個式子，
題目裡的「比原定日期晚三天」，我覺得不是指原本甲乙合作的那個12天，而應該是甲獨做的a天。
網頁解答的甲做32日，應該是把第二條式子列成我原本想錯的「7/a+8/b=1」，
但我覺得應該改成「7/a+(a-7+3)/b=1」才對。

小學五年級竟然在算這麼難的代數，真是嚇死我了......|||


（題外話）

用「甲乙合做一工程」下去咕狗，得到好多甲乙做過的各種工程～～XDDDD
有時還會有丙的加入wwwwww